यदि $\vec p$ और $\vec q$ इकाई सदिश हैं,इस प्रकार कि $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$,तो $\vec p$ और $\vec q$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\lambda, \mu)$ का समुच्चय है जिनके लिए सदिश $\lambda \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} + \mu \hat{k}$ और $3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,जहाँ $\lambda - \mu = 5$,समतलीय हैं,तो $\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $A(-1, 2, 3)$,$B(3, -2, 1)$,$C(2, 1, 3)$ और $D(-1, -2, 4)$ एक चतुष्फलक के शीर्ष हैं,तो इसका आयतन है

यदि $\overline{u}, \overline{v}$ और $\overline{w}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot [(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w})]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = $

एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसका किनारे $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, और $\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ हैं, का आयतन $\frac{2}{3}$ घन इकाई है। तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।